统计套利中的协整

协整是什么这个问题回答起来不是那么直观,因此我们先看下图,了解一下具有协整性的两只股票其价格走势有什么规律。

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图1 两只协整股票的走势

从图1中可以看出,两只股票具有同涨同跌的规律,长期以来两只股票的价差比较平稳,这种性质就是平稳性。如果两个股票具有强协整性,那么无论它们中途怎么走的,它们前进的方向总是一样的。

平稳性

提到协整,就不得不提平稳性。简单地说,平稳性(stationarity)是一个序列在时间推移中保持稳定不变的性质,它是我们在进行数据的分析预测时非常喜欢的一个性质。如果一组时间序列数据是平稳的,那就意味着它的均值和方差保持不变,这样我们可以方便地在序列上使用一些统计技术。我们先看一个例子,了解平稳和非平稳序列直观上长什么样。

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图2 平稳序列和非平稳序列

图2中,靠上的序列是一个平稳的序列,我们能看到它始终是围绕着一个长期均值在波动,靠下的序列是一个非平稳序列,我们能看到它的长期均值是变动的。

问题的提出

由于许多经济问题是非平稳的,这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。在金融市场上也是如此,很多时间序列数据也是非平稳的,通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势,使得序列平稳化后建立模型,比如使用ARIMA模型。

1987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法,为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列,但是,它们的线性组合却有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程,且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。协整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。 如果两个变量是协整的,在短期内,因为季节影响或随机干扰,这些变量有可能偏离均值,但因为具有长期稳定的均衡关系,它们终将回归均值

协整应用在量化投资中

基于协整的配对交易是一种基于数学分析交易策略,其盈利模式是通过两只证券的差价(spread)来获取,两者的股价走势虽然在中途会有所偏离,但是最终都会趋于一致。具有这种关系的两个股票,在统计上称作协整性(cointegration),即它们之间的差价会围绕某一个均值来回摆动,这是配对交易策略可以盈利的基础。当两只股票的价差过大,根据平稳性我们预期价差会收敛,因此买入低价的股票,卖空高价的股票,等待价格回归的时候进行反向操作从而获利。需要特别注意的是协整性和相关性虽然比较像,但实际是不同的两个东西。两个变量之间可以相关性强,协整性却很弱,比如说两条直线,y=x和y=2x,它们之间的相关性是1,但是协整性却比较差;方波信号和白噪声信号,它们之间相关性很弱,但是却有强协整性。

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图3 相关性很弱,但是具有强协整性

平稳性和检验方法

严格地说,平稳性可以分为严平稳(strictly stationary)和弱平稳(或叫协方差平稳,covariance stationary等)两种。严平稳是指一个序列始终具有不变的分布函数,而弱平稳则是指具序列有不变的常量的描述性统计量。严平稳和弱平稳性质互不包含;但如果一个严平稳序列的方差是有限的,那么它是弱平稳的。我们一般所说的平稳都是指弱平稳。在时间序列分析中,我们通常通过单位根检验(unit root test)来判断一个过程是否是弱平稳的。一个常见的单位根检验方法是Dickey-Fuller test,大致思路如下:假设被检测的时间序列Yt满足自回归模型Yt=αYt−1+ϵt ,其中α为回归系数,ϵt为噪声的随机变量。若经过检验,发现 α<1,则可以肯定序列是平稳的。


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